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    閉區間上連續函數的有界性定理證明的新方法

    時間:2014-05-22 來源:未知 作者:小韓 本文字數:1686字
    論文摘要

      一、引言
      
      函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型,連續函數又是數學分析中非常重要的一類函數。在數學中,連續是函數的一種屬性。而在直觀上來說,連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候,輸出的變化也會隨之足夠小的函數。函數極限的存在性、可微性,以及中值定理、積分等問題,都是與函數的連續性有著一定聯系的,而閉區間上連續函數的性質也顯得非常重要。在閉區間上連續函數的性質中,有界性定理又是最值定理和介值定理等的基礎。

      在極限緒論中,我們知道閉區間上連續函數具有 5 個性質,即:有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零點定理和一致連續定理,零點定理是介值定理的一個重要推論。而閉區間上連續函數的有界性定理的證明,在很多數學教材中,所采用的方法大致相同,一般都是用致密性定理和有限覆蓋定理來加以證明的。并且在文獻中作者也分別利用閉區間套定理、確界定理、單調有界定理和柯西收斂準則證明了此定理。但是我們知道,分析數學上所列舉的實數完備性的 7 個基本定理是相互等價的,因而從原則上講,任何一個都可以證明該定理,只不過是有繁簡之分,筆者考慮如何能用最簡單的方法將閉區間上連續函數的有界性定理證明出來,上述文獻中已經用其他 6 個基本定理證明了閉區間連續函數的有界性定理,下面本文用實數完備性定理中的聚點原則和構造數列的辦法給出了該定理的新證明方法。

      二、一種新的證明方法
      
      (一)預備知識【1】

    論文摘要
    論文摘要
      
      (二)有界性定理的新證法下面將給出實數完備性定理中的聚點原則對閉區間連續函數的有界性定理的證明。【2】
    論文摘要
      
      三、有界性定理在數學建模中的應用
      
      本文以一道數學建模的問題為例,介紹閉區間上連續函數的有界性定理如何應用于實際問題。

      在 2013 年“深圳杯”數學建模夏令營 D 題中,根據題意所述:農業災害保險是政府為保障國家農業生產的發展,基于商業保險的原理并給予政策扶持的一類保險產品。農業災害保險也是針對自然災害,保障農業生產的重要措施之一,是現代農業金融服務的重要組成部分。農業災害保險險種是一種準公共產品,基于投保人、保險公司和政府三方面的利益,按照公平合理的定價原則設計,由保險公司經營的保險產品,三方各承擔不同的責任、義務和風險。根據題目中附件所給的 P 省的具體情況,可以將有界性定理靈活的用在自然災害保險的風險評估和費率擬定上。假設時間是一個連續狀態,則以時間 t 為自變量,根據題中所給數據,以日最高最低氣溫為例,很明顯它與時間 t 是呈周期性變化的,以一年為一個周期,故只考慮在某一年內的變化規律,即 .

      將日最高最低氣溫擬合成一個關于時間的函數f(t),則由于自變量 t 是連續狀態的,故f(t)在定義域[0,365] 內是一個連續函數。保險的定價與費率的擬定跟被保農作物受氣候災害的情況有關,而受氣候災害的情況則由f(t)所決定,即f(t)也是 的一個連續函數,用 spss 軟件將農作物受災情況進行聚類分析,將氣溫劃分為 4 個等級,即為四個在值域上的閉區間【3】
    論文摘要
        根據閉區間連續函數的有界性定理可知【5】,
    論文摘要
        都有|t|≤ M ,則找到了一個f(t)為 落在閉區間【4】
    論文摘要
        的最大時間長度,將被保險農作物的生長周期與此時間長度結合進行保險定價與費率的擬定。

      四、結論
      
      上述用聚點原則證明了閉區間上連續函數的有界性定理,從側面反映了實數完備性的 7 個基本定理的相互等價性,并且根據《數學分析》書及文獻中所給出的證明,總結出如下規律:

      (一)閉區間上連續函數的有界性定理的證明一般都是采用反證法。

      (二)本證明方法結合 Heine 定理和聚點原則,更加精煉的采用反證法證明了有界性定理,并且將函數轉換成數列極限問題來解決。

      (三)利用聚點原則證明有界性定理好處在于不用對一個閉區間不斷的進行等分(構造一個閉區間套),只需找到一個收斂的子列即可證明。

      (四)在實際問題中,往往的數據都是一個離散的時間序列,根據這樣離散的數據集擬合出來的一個近似連續的函數,從而根據閉區間上連續函數的有界性定理找到一個最大的定義區間和一個值域范圍。

      參考文獻:

      [1]陳傳璋。數學分析[M].上海:復旦大學出版社,1983.

      [2]胡亞紅。用實數完備性證明閉區間上連續函數的有界性[J].麗水學院學報,2010,32(5):8-10.

      

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