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    數字圖像處理中矩陣變換的應用探索

    時間:2019-06-10 來源:湖北理工學院學報 作者:汪太月,明廷橋 本文字數:5528字

      摘    要: 從矩陣變換入手, 將矩陣變換應用到圖像處理中, 且通過直方圖匹配法及歐幾里得距離法求取相似度來進行人臉識別和預測。所得實驗結果直觀高效, 相似度均能達到90%以上。

      關鍵詞: 數字圖像處理; 矩陣變換; 人臉識別和預測; 相似度;

      Abstract: This paper starts with matrix transformation, applies matrix transformation to image processing, and uses histogram matching method and Euclidean distance to obtain similarity for face recognition and prediction. The experimental results are intuitive and efficient, and the similarity can reach more than 90%.

      Keyword: digital image processing; matrix transform; face recognition and prediction; similarity;

      0 、引言

      圖像處理與分析是跨學科的前沿科學技術。在Matlab中, 數字圖像是以矩陣或者陣列的方式存儲的, 而矩陣或陣列能以圖像的形式顯示[1]。于是, 圖像能以矩陣的方式儲存及運算。矩陣中的元素就是圖像中的像素值, 反之圖像中的像素值就是矩陣中的元素。若數字圖像排列成陣列, 相應的矩陣表示為:

      在計算機中處理圖像信號的技術被稱為數字圖像處理技術。圖像信號經處理后能夠獲取到一幅數字圖像, 也可能獲取數字圖像的某些特點。對數字圖像的研究主要有以下幾個方面[2]: (1) 圖像獲取; (2) 圖像變換; (3) 圖像增強; (4) 圖像復原; (5) 圖像分割。生活中很多信息都是圖像信息, 灰度圖像在Matlab中都是以矩陣形式存儲的 
     

    數字圖像處理中矩陣變換的應用探索


            1、 矩陣的基本操作

           對圖像進行相關的操作就是對對應矩陣進行相關的運算。Matlab語言能對同型矩陣或者一個標量與一個矩陣做加法和減法運算, 直接用運算符“+”和“-”。2個矩陣的加法和減法是在矩陣維數相同的情況下對應元素的加減, 而矩陣和標量的加減運算則是矩陣中的每一個元素都與標量進行加減運算。矩陣的加減起增減圖像亮度的作用。

      1.1、 矩陣的乘除運算

      Matlab語言的矩陣乘法運算有標量與矩陣、矩陣與矩陣的乘法, 乘法所使用的運算符為“*”。標量與矩陣的乘法是標量與矩陣每一個元素相乘, 矩陣與矩陣的乘法按照線性代數的乘法規則。矩陣的除法分為左除 (用運算符“\”) 與右除 (用運算符“/”) 。對于矩陣A和B來說, A\B表示矩陣A左除B, 其計算結果與矩陣A的逆和矩陣B相乘的結果相等。矩陣的除法其實就是乘法。

      1.2、 矩陣的拼接

      矩陣拼接的原理是將2個或2個以上的單個矩陣, 按照一定方向拼接為一個新的矩陣。矩陣的拼接是一種特殊構造矩陣的方式, 不同的是基礎單位是原來的矩陣, 目的是得到新的合并矩陣。矩陣拼接分為2種, 依照方向有水平與垂直2種拼接方式[3]: (1) 水平方向拼接的語句是:C=[A, B]; (2) 垂直方向拼接的語句是:C=[A;B]。

      1.3、 矩陣的復制

      repmat函數應用于對輸入矩陣 (較小的矩陣) 進行備份, 然后拼接出一個較大矩陣, 從而完成矩陣的復制。語句如下[4]:B=rempa (A, m, n) 或者B=rempat (A, [m, n]) 。矩陣的復制效果如圖1所示。
     

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      圖1 矩陣的復制效果

      2、 圖像的基本操作

      2.1、 圖像的代數運算

      2.1.1、 圖像的加減運算

      幾幅大小相同的圖像相加就是將對應矩陣進行相加, 2幅圖像能夠進行加法運算的前提是圖像對應的矩陣是同型矩陣。由A±B實現矩陣的加減運算。2個圖像的加減運算效果如圖2所示。

      圖2 2 個圖像的加減運算效果

      2.1.2、 圖像的乘除運算

      圖像相乘對應于矩陣相乘。圖像的乘法運算可以實現掩模處理, 即屏蔽掉圖像的某些部分。2個矩陣相乘時, 如A×B, A的列數必須要和B的行數相等才可以運算出結果。圖像的除法運算可用于校正成像設備的非線性影響。圖像像素點的除法運算可以檢測圖像之間的差別, 除法運算結果主要是像素值比率的變化。圖像的乘法與除法運算效果如圖3所示。

      圖3 圖像的乘法與除法運算效果

      2.1.3、 圖像的線性運算

      圖像的線性運算是通過建立線性映射來調整原圖像, 從而達到圖像增強或減弱的目的, 公式表示為:

      式 (2) 中, Y (x, y) 為目標像素值;X (x, y) 為源像素值;k為斜率;b表示截距。

      1) 當k>1時, 可增強圖像對比度, 圖像像素值在變換后全部變大, 整體增亮。圖像線性運算效果如圖4所示。

      2) 當k=1時, 常用于調整圖像亮度。

      3) 當0<k<1時, 效果與k>1時相反, 圖像像素值在變換后全部變小, 整體削弱。

      4) 當k<0時, 原圖像較亮的區域變暗, 較暗的區域變亮。若k=-1, b=255, 圖像實現反色的效果, imlincomb函數用于圖像的線性運算。

      圖4 圖像線性運算效果 (k=2, b=128)

      2.2 、圖像的幾何運算

      2.2.1、 圖像的縮放

      用imresize函數可以改變圖像的大小[5], 即改變矩陣的大小, 可以將不同圖像的矩陣變成相同大小的矩陣, 圖像的縮放處理效果如圖5所示。

      圖5 圖像的縮放處理效果

      2.2.2、 圖像的裁剪

      圖像裁剪, 即在進行圖像運算時, 可將圖像的一部分裁剪作為研究的基礎, 所裁剪的圖像普遍是多邊形形狀。在剪裁矩陣時, 調用imcrop函數[5], B=imcrop (A, [x, y, z, w]) 。想要得到圖像的坐標, 可以通過將圖像坐標化, 也可以通過將圖像顯示后點擊上方的數據游標, 從而選定圖像中想要知道坐標的點。原圖像及裁剪圖像如圖6所示。

      圖6 原圖像及裁剪圖像

      2.2.3 、圖像的拼接

      圖像的拼接技術是將很多幅有重疊部分的圖像 (也許是不同時間、不同視角或者不同的傳感器獲取的) 連接成一幅大型的無縫的高分辨率圖像的技術。在拼接時, 由于組成的是矩陣形式, 所以需要對其方向進行一定的判斷。因此, 在拼接時要注意2幅圖像拼接方向的維度。2幅圖像的拼接圖像如圖7所示。

      圖7 2 幅圖像的拼接圖像

      2.3、 圖像的區域操作

      2.3.1、 區域選擇與區域填充

      Matlab中[6], roifill函數用于對指定區域進行填充, 能實現根據顏色選定區域。區域填充與按灰度選擇區域如圖8所示。

      圖8 區域填充與按灰度選擇區域

      2.3.2 邊緣提取與對象選擇

      用bwperim函數能很好地實現圖像邊緣輪廓的提取。同時bwselect函數能從圖像中提取指定對象[6]。

      3、 數字圖像處理的應用———人臉識別與預測

      3.1、 比較2張照片上的人是否為同一個人

      網上搜索同一個人不同年齡的照片, 然后截取其面部圖像, 將其轉換為灰度圖像并用imresize函數轉化為相同大小。運用Matlab軟件計算2張圖片的相似度。網上搜索的圖像經預處理后的效果如圖9所示。

      圖9 網上搜索的圖像經預處理后的效果

      3.1.1 、直方圖匹配法 (巴氏距離表示相似度)

      分別計算圖9的灰度化圖像的直方圖, 然后計算2個直方圖的歸一化相關系數 (巴氏距離, 直方圖相交距離) 。對于離散型概率分布p和q在同一域義, 巴氏距離被定義為:

      式 (3) ~ (4) 中, BC (p, q) 是Bhattacharryya系數[7], 且0≤DB (p, q) ≤∞, 0≤BC (p, q) ≤1。對這2個灰度圖像繪制直方圖計算相關系數, 灰度圖像的直方圖如圖10所示。

      圖1 0 灰度圖像的直方圖

      Bhattacharyya系數是對2個統計樣本的重疊量的近似計算。巴氏系數可用來對2組樣本的相關性進行測量。由結果得這2幅圖片的Bhattacharryya系數為0.677 3, 也就是說這2幅圖像的相似程度達到67.73%;截取面部之后Bhattacharryya系數為0.700 7, 2幅圖像的相似度達到了70.07%。

      3.1.2、 歐幾里得距離法 (余弦相似性表示相關性)

      由歐幾里得距離的原理易知:2個向量, 若其夾角θ為0, 意味著2個向量的方向相同線段重合;若其夾角θ為90°, 表示2個向量的方向垂直, 2個向量完全不重合。我們可以通過夾角的大小來判斷向量的相似程度[8]。夾角越小, 就代表越相似。由余弦定理有:

      假設向量坐標為 (x1, y1) , 向量坐標為 (x2, y2) , 則余弦定理的表現形式為:

      余弦的這種計算方法對n維向量也成立。假設A和B是2個n維向量, 則A, B可分別表示為 (A1, A2, …, An) 和 (B1, B2, …, Bn) 的形式, 則A與B的夾角θ的余弦:

      cosθ的取值為0~1, 值越大, 則2個向量間的d值越小, 即距離越近, 相似度越大。在Matlab中繪圖并計算得到結果。歐幾里得距離計算余弦相似度如圖11所示。

      圖1 1 歐幾里得距離計算余弦相似度

      對比圖像的直方圖可知2張圖像大致相同, 計算得余弦角度為40.776 8°, 對應的余弦值為0.757 3。也就是說這2張圖像相似程度為75.73%。

      3.2、 人臉預測

      網上得到同一個人不同時期的照片, 并截取其面部圖像, 然后進行灰度化并轉換為同樣大小。同一個人不同時期的照片及截取面部之后灰度化的圖像如圖12所示。

      圖1 2 同一個人不同時期的照片及截取面部之后灰度化的圖像 (圖像從左到右對應的灰度圖像依次標號為B1, B2, B3, B4)

      3.2.1、 基于Matlab的多項式擬合預測

      在Matlab中采用多項式擬合函數, 將圖12中的4個圖導入Matlab中用imresize函數得到4個同型的矩陣, 分別記作B1, B2, B3, B4, 以x表示4個年齡段的年齡值, 用B1 (i) 表示第1張圖片對應矩陣的第i個位置的像素值, 其他幾張圖片也取和第1張圖片所對應的點即第i個點的像素值。再用polyfit函數進行二次多項式及三次多項式擬合得到擬合函數, 通過polyval函數求得預測年齡圖片第i個點的像素值。用for循環對矩陣的每一組對應元素作多項式擬合預測, 產生新的值, 由這些元素組成的矩陣顯示成灰度圖像, 即得到面部預測圖像。多項式擬合人臉預測圖如圖13所示。

      圖1 3 多項式擬合人臉預測圖

      從圖像效果不難辨認出預測的圖像確為其人, 該算法能很好地預測出未來面部的大致情況, 在刑偵等領域能發揮很大的作用。但圖像清晰度有待進一步提高, 究其原因可能是圖像作灰度化處理時丟失了一些圖像信息, 且不同年齡面部的對應點有些許的偏差, 當然, 圖像本身附帶有噪聲干擾, 且擬合的點數太少 (每組才4個點) 導致結果不是特別完美。

      3.2.2、 基于Matlab的插值預測

      所謂插值法就是用一個便于計算的簡單的函數 (x) 去代替f (x) , 使得φ (xi) =y, 通常稱f (x) 為被插值函數, x0, x1, …, xn為插值節點,  (x) 為插值函數, 求 (x) 的方法叫插值法[9]。

      插值法細分為許多種, 有Lagrange插值多項式、逐次線性插值、Newton插值多項式、Hermit插值多項式、3次樣條插值等[10,11]。在Matlab中插值函數也可以直接調用interp函數。文中采用三次多項式插值、逐次線性插值分別對數據作內插和外插。內插法可用來預測此人已有年齡間的面容, 外插用來預測已有年齡之外的面容。運用Matlab軟件相應的編寫程序, 類似多項式擬合的處理方法, 得到三次多項式插值圖像如圖14所示。

      從圖像上來看, 直觀上可以辨認出預測的圖像是確為其人, 三次多項式內插的效果較三次多項式外插效果要好, 這是由插值算法本身所決定的。

      圖1 4 三次多項式插值圖像

      3.2.3、 對預測結果的檢驗

      1) 采用直方圖匹配法對預測圖像進行檢驗, 因為預測的不同年齡圖像較多, 故隨機選取其中的幾張預測圖和幾張原圖進行檢驗。先對擬合預測方法進行匹配檢驗, 分別選取年齡較近的24歲原圖與20歲預測圖, 50歲原圖與60歲及70歲預測圖進行比較, 匹配檢驗結果為:H1=0.671 9, H2=0.583 5, H3=0.645 3。50歲原圖與60歲預測圖及其對應直方圖如圖15所示。

      圖1 5 5 0 歲原圖與60歲預測圖及其對應直方圖

      2) 采用直方圖匹配法對三次多項式插值預測相似度進行檢驗, 分別選取24歲原圖與35歲預測圖, 30歲原圖與35歲預測圖以及50歲原圖與60歲預測圖進行相似度檢測, 匹配結果為:H1=0.565 9, H2=0.566 8, H3=0.352 3。24歲原圖與35歲預測圖其對應直方圖如圖16所示。

      圖1 6 2 4 歲原圖與35歲預測圖其對應直方圖

      通過相似度的匹配比較, 不難發現所預測的圖像跟原圖的相似度大都大于0.5, 因而這2種方法預測的結果還是較為準確且能接受的。為了進一步提高相似度, 后期工作主要考慮在圖像處理過程中如何消除噪聲干擾以及像素的準確對位。對于擬合預測, 二次擬合和三次擬合的效果都比較好, 這是由原圖像幅數決定的;而插值預測中三次多項式插值較線性插值好, 這是由插值原理決定的。同文獻[12]比較, 本文采用的擬合預測及插值預測原理通俗易懂, 方法簡單, 編程易于上手, 運行時間短, 效率高, 且有較理想的效果。

      4 、結束語

      本文在矩陣變換的基礎上對圖像進行了相關操作, 利用Matlab軟件實現了數字圖像處理。在此基礎上對人臉進行識別和預測, 得到較為直觀的結果。將圖像處理技術與矩陣變換相結合, 可作為今后進一步研究的方向。

      參考文獻

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      論文來源參考:汪太月,明廷橋.基于矩陣變換的數字圖像處理技術[J].湖北理工學院學報,2019,35(02):24-30.
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